domingo, 2 de mayo de 2010

ULTIMO TEOREMA DE FERMAT

X exp “n” - Y exp “n” = Z exp “n” , para todo “n” superior a 2 no existen soluciones naturales que satisfagan la ecuación.


DEMOSTRACIÓN


X exp “n” - Y exp “n” = (X-Y) [X exp “n-1” + Y(X exp “n-2”) + Y exp “2”(X exp “n-3”) +...............+Y exp “n-1” ]

Si (X-Y) es un número primo, el factor [X exp “n-1” + Y(X exp “n-2”) + Y exp “2”(X exp “n-3”) +.......+Y exp “n-1” ] tiene que ser múltiplo de (X-Y) para que se cumpla:

(X-Y) [X exp “n-1” + Y(X exp “n-2” + Y exp “2”(X exp “n-3”) +...........+Y exp “n-1”] = Z exp “n”

puesto que Z es un producto único de números primos, Z = p1 exp “a” x p2 exp “b” x.....x pn exp “c”, siendo las p, con sus distintos subindices, los números primos y a,b....c números naturales incluido el cero.Al elevar Z a “n” obtenemos:
(p1 exp “a”x p2 exp “b” x.....x pn exp “c”) (p1 exp “a” x p2 exp “b” x.....x pn exp “n”)....................
…..x(p1 exp “a” x p2 exp “b” x.....x pn exp “n”) “n” veces y descomponiendo en un producto de dos factores siendo el primero un número primo se tiene: p1 (p1 exp “na-1” x p2 exp “nb”x.......x pn exp “nc”), que como se ve el segundo factor es siempre múltiplo del primero.
Sabiendo que: Z exp “n” = (X-Y) [X exp “n-1” + Y (X exp “n-2”) + Y exp “2” (X exp “n-3”) +.........+Y exp “n-1”]
Si (X-Y) es primo no se cumple la igualdad puesto que el segundo factor no es divisible por (X-Y).

Si (X-Y) es un número compuesto podemos transformar la igualdad en otra equivalente:
sea (X-Y) = (a-b)m, siendo (a-b) un número primo y m un entero positivo. De aquí se deduce que
X = ma + k e Y = mb +k , siendo k un entero positivo incluido el cero.Con lo que sustituyendo:

Z exp “n” = m(a-b) [(ma +k) exp “n-1” + (mb + k)((ma + k) exp “n-2”)+ (mb + k) exp “2” ((ma+k) exp “n-3”) +..........+ (mb +k) exp n-1]

Toda potencia, para todo “n” superior a 2”, se puede descomponer en un producto de tres factores. Si uno de los factores es un número primo, el mayor de los factores es múltiplo de éste. El mayor de ellos está compuesto por todos los factores primos de la potencia. En nuestro caso el mayor de los factores no es divisible por (a-b).

Y por último si (X-Y) = 1, X exp “n” - Y exp “n” = Z exp “n” se transforma en una ecuación equivalente: X exp “n” - Z exp “n” = Y exp “n” = (X-Z) [X exp “n-1” + Z (X exp “n-2”) + Z exp “2” (X exp “n-3”) +.........+ Z exp “n-1”] y estaríamos en los casos anteriormente citados, siendo (X- Z) el número primo o (X-Z) el número compuesto. Porque (X-Z) no puede ser igual a 1 si (X-Y) también lo es, ya que entonces se cumpliría: X exp “n” - Y exp “n” = Y exp “n” con lo cual X exp “n” = 2Y exp “n” y por lo tanto X sería irracional.



No se si la demostración es o no correcta, pero si lo es probablemente sea la que descubrió Fermat.

NOTA: al descomponer una potencia en un producto de dos factores, si uno de ellos es primo el otro factor es múltiplo de éste.