viernes, 5 de marzo de 2010

ENIGMAS MATEMÁTICOS

Una potencia de base dos cuyo exponente es otra potencia de base 2, al sumarle la unidad nos da como resultado un entero positivo cuya última cifra es 7, para todo n≥ 2 pertenecientes a los enteros positivos.

DEMOSTRACIÓN

Sabiendo que:

Dos elevado a una potencia de base dos de exponente “n” es igual a una potencia de base dos cuyo exponente es 4x, siendo “x” una potencia de base dos de exponente positivo y n≥2. Y como dos elevado a “4x” es un entero terminado en 6:

2 exp4 por 2exp4 por........2exp4, “x” veces, es decir, 16.16.16.......16, “x” veces

Entonces una potencia de base dos cuyo exponente es “4x” al igual que toda potencia de base dos cuyo exponente es dos elevado a “n” al sumarle la unidad nos da siempre un entero positivo terminado en 7, como queda demostrado.



Todo número perfecto par termina en 6 o en 8


DEMOSTRACIÓN

Todo número perfecto par es de la forma: 2 exp “x”(2 exp”x+1” -1) siendo la expresión del paréntesis un número primo. El exponente “x” lo podemos dividir en 4 grupos:

1.º) x = 4n, siendo “n” un entero positivo. Como 2 elevado a “4n” es siempre un número terminado en 6 y [2 exp (4n+1) -1] siempre termina en 1 entonces 2 exp”4n”[2 exp (4n+1) -1] es un número terminado en 6.

2.º) x = 4n -1, entonces 2 exp (4n -1) termina en 8 y 2 exp”4n” menos 1 termina en 5 y por lo tanto es un número compuesto.

3º.) x = 4n -2, por lo que 2 elevado a “4n -2” es un número terminado en 4 y 2 exp (4n -1) menos la unidad termina en 7. Por consiguiente 2 exp (4n -2) [2 exp (4n -1) – 1] termina en 8.

4º.) x = 4n -3, 2 exp (4n -3) termina en dos y 2 exp (4n -2) -1 no es primo, excepto para n =1, puesto que 4n -2 es un número par y toda potencia de base dos y exponente par al restarle la unidad nos da un múltiplo de tres. Para n = 1, obtenemos: 2(2 exp 2 -1) = 6

No hay comentarios: