ENIGMAS MATEMÁTICOS

LA PARADOJA DEL MENTIROSO


Epiménides dijo que “todos los cretenses son unos mentirosos”. Como él era cretense, ¿ Epiménides decía la verdad?

SOLUCIÓN

Si todos los cretenses son mentirosos, Epiménides dice la verdad y por lo tanto no puede ser cretense.
Si todos los cretenses dicen la verdad, Epiménides miente y como consecuencia él no puede ser cretense.

CONCLUSIÓN

Según la condiciones del problema EPIMÉNIDES NO PUEDE SER CRETENSE.


DESCOMPONER UN NÚMERO ENTERO PRODUCTO DE DOS PRIMOS


Todo número entero “n” se puede descomponer en un producto de otros dos, no necesariamente primos. Podremos hacerlo utilizando la ecuación: x2- zx + n = 0, siendo “z” la suma de las dos soluciones de la ecuación (los dos números primos), es decir, z = x1 + x2 y “n” el entero compuesto de dos factores primos(excluido el 2), es decir, n = x1.x2. Utilizando la fórmula de la ecuación de segundo grado obtenemos las dos soluciones:

x1 = (z + √p)/2 y x2 = (z - √p)/2, siendo p = z2 – 4n. Desarrollando esta ecuación y sustituyendo las variables por sus valores se obtiene:

p = (x1 + x2)2 – 4(x1.x2) = (x1 – x2)2, con lo cual “p” es un número par.

“z” es par, porque es la suma de dos números impares primos y es único porque todo número entero se descompone en un único producto de números primos. Luego para hallar las soluciones tendremos que hallar “z” y “p” utilizando las siguientes fórmulas:

z = (p + 4n)1/2; p = (2m)2 siendo m = (x1 – x2)/2 un número entero positivo.


Las soluciones se hallan dando valores a “m” y al sustituir “p” en la ecuación se obtenga un valor de “z” par.

NOTA: Hay varios errores tipográficos.En la primera ecuación de segundo grado la "x" está elevada al cuadrado, p = "z" al cuadrado menos 4n que es igual a la diferencia al cuadrado de las dos soluciones.La "z" es igual a la raiz cuadrada de (p+4n), siendo "p" el cuadrado de 2m.


PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE BASE DOS


Toda potencia de base dos y exponente impar al sumarle la unidad da como resultado un número natural múltiplo de tres.

2 elevado a 3 = 3x2 + 2

2 elevado a 5 = 3(2 elevado a 3 + 2) + 2
.
.
.
2 elevado a 2n+1 = 3(2 elevado a 2n-1 + 2 elevado a 2n-3 + 2elevado 2n-5 +....+1) – 1

2 elevado a (2n+1) + 1 = 3(2elevado a 2n-1 + 2elevado a 2n-3 + 2 elevado a 2n-5 +.....+1)


Toda potencia de base dos y exponente par al restarle la unidad da como resultado un número natural múltiplo de tres.

2 elevado a 4 = 3x2 elevado a 2 + 2 elevado a 2

2 elevado a 6 = 3(2 elevado a 4 + 2 elevado a 2) + 2 elevado a 2
.
.
.
2 elevado a 2n = 3(2 elevado a 2n-2 + 2 elevado a 2n-4 +.....+1) +1

2 elevado a (2n) -1 = 3(2 elevado a 2n-2 + 2 elevado a 2n-4 +....+1)



EXAMEN INESPERADO


Un profesor dice a sus alumnos:

Un día de la semana que viene os pondré un examen sorpresa, en el sentido en que no podréis saber cuándo se va a realizar hasta el momento en que os entregue el enunciado.

Los alumnos razonan del siguiente modo:

Si no conocemos con antelación cuándo se va a realizar el examen, no podrá ser el viernes ya que si llega el jueves y no se celebra, entonces el viernes es cuando se va a realizar y no hay sorpresa. Pero si el viernes no se realiza el examen, el jueves tampoco, ya que si llega el miércoles y no se realiza, el jueves es el único momento en que puede hacerse y no sería sorpresa. Pero si no se puede realizar el jueves tampoco se podrá el miércoles, martes y lunes por los mismos motivos. Por lo tanto es imposible que se celebre un examen en estas condiciones.

Sin embargo el miércoles, el profesor entra por la puerta y decide realizar el examen.

¿Dónde está el fallo en el razonamiento de los alumnos?


El concepto sorpresa, no saber el día del examen, depende del día de la semana en que nos encontremos. Si es domingo, no sabríamos decir que día de la semana ha elegido el profesor (lunes, martes, miércoles, jueves o viernes). Si es lunes y no se ha celebrado el examen tampoco podemos asegurar que día será, pero ya solamente nos queda cuatro opciones. Si es martes y todavía no ha puesto el examen, hay tres días donde elegir pero no sabemos con certeza cual ha elegido el profesor. Si es miércoles y el examen aún no se ha celebrado, entonces sabremos que tendrá lugar el jueves o el viernes, pero no sabemos cual de los dos días será. Si es jueves y el examen sigue sin celebrarse, entonces sabremos con toda seguridad que tendrá lugar el viernes. Solamente no es sorpresa si es jueves y el examen no se ha celebrado. El error es considerar el futuro como presente.


EL PROBLEMA DE LA LÁMPARA


Una lámpara es encendida durante un minuto, apagada durante ½ minuto, después encendida ¼ de minuto, y así sucesivamente. Esta serie de encendidos y apagados dura en total dos minutos, exactamente. Una vez transcurridos, ¿estará la lámpara encendida o apagada?


SOLUCIÓN

Para t = 2 minutos no está definido el intervalo de tiempo entre dos pulsaciones, es decir, es imposible distinguir el intervalo de tiempo entre dos pulsaciones, puesto que en ese instante dicho intervalo se aproxima a cero pero nunca es cero. Con lo cual no podemos construir un aparato de medida que pueda diferenciar entre dos pulsaciones para este instante concreto de tiempo.


CONCLUSIÓN

Utilizando el método de pulsación de la lámpara que enuncia el problema es imposible determinar si la lámpara estará encendida o apagada, a partir de dos minutos.


TODO NÚMERO PERFECTO PAR, EXCEPTO EL 6, ES LA SUMA DE LOS CUBOS DE LOS NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS.


DEMOSTRACIÓN

Para hallar la suma de los cubos de los números impares consecutivos utilizamos la siguiente ecuación:

(a + nr)elevado a (m +1) = a elevado a (m +1) + (m +1)rSm /1+ [ (m +1)m]r exponente "2"Sm-1/2x1 + …......+ (m +1)r exponente "m"S1/1 + nr exponente "m+1"

En nuestro caso concreto la diferencia “r” es 2, m +1 sería 4, S1 las sumas de los términos de la progresión, S2 de sus cuadrados y S3 de sus cubos. Por lo tanto tenemos:

(1 + 2n)exp4 = 1 + 8 S3 + 24 S2 + 32 S1 + 16n

1 + 8n + 24n exp2 + 32n exp3 + 16n exp4 = 1 + 8S3 + 24S2 + 32S1 + 16n

y como S1 = n exp2 y S2 = n(4n exp2 -1)/3 con lo cual obtenemos:

8n + 24n exp2 + 32n exp3 + 16n exp4 = 8S3 + 8n(4n exp2 -1) + 32n exp2 + 16n y despejando:

S3 = n exp2(2n exp2 -1) para todo “n” perteneciente a los enteros positivos. Esta es la fórmula que nos da la suma de los cubos de los números impares consecutivos. En el caso particular en que n exp2 = 2 exp"x" para toda “x” par perteneciente a los enteros positivos, se obtiene:

S3 = 2 exp"x"(2 exp(x +1) -1) que es la fórmula de los números perfectos pares cuando 2 exp(x +1) – 1 es primo. Por lo tanto queda demostrado que todo número perfecto par , excepto el 6, es la suma de los cubos de números impares consecutivos.

NOTA: El 6 no lo cumple puesto que 6 = 2(2 exp2 -1) y en este caso x =1 que es impar.

 n exp "2" no puede ser 2 porque “n” no sería un entero positivo. Por lo tanto 6 no es la suma de los cubos de números impares consecutivos.


Si n exp "2" = 2 exp "x" entonces “x” tiene que ser par para que “n” sea entero y 2 exp"x+1" -1 sea primo.



2 exp"x+1" -1 es múltiplo de 3 si x +1 es un número par superior a 2.

NÚMEROS PRIMOS


En las cuatro sucesiones siguientes se encuentran todos los números primos, excepto el 2 y el 5. Las sucesiones son:
S1= 10n+1, S2= 10n-7, S3= 10n-3 y S4= 10n-1 para todo “n” perteneciente a Z+.

En la sucesión 10n+1 (son números cuya última cifra es 1) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y+1) = 100xy + 10x +10y + 1
(10x-1) (10y-1) = 100xy - 10x -10y +1
(10x-7) (10y-3) = 100xy -30x -70y + 21
Para todo x, y pertenecientes a Z+

En la sucesión 10n-7 (son números cuya última cifra es 3) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y-7) = 100xy -70x +10y – 7
(10x-3) (10y-1) = 100xy -10x -30y + 3
Para todo x, y pertenecientes a Z+

En la sucesión 10n-3 (son números cuya última cifra es 7) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y-3) = 100xy – 30x + 10y – 3
(10x-7) (10y-1) = 100xy – 10x – 70y + 7
Para todo x, y pertenecientes a Z+

En la sucesión 10n-1 (son números cuya última cifra es 9) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y-1) = 100xy – 10x + 10y – 1
(10x-7) (10y-7) = 100xy – 70x – 70y + 49
(10x-3) (10y-3) = 100xy – 30x – 30y +9

Para todo x,y pertenecientes a Z+.

Para saber si un número es primo lo igualamos con las ecuaciones que correspondan con su última cifra y si no existen dos enteros positivos (x,y) que cumplan las ecuaciones, entonces es primo.

EJEMPLO: ¿El 97 es primo o compuesto?
Como la última cifra es 7 utilizamos las ecuaciones correspondientes:
100xy – 30x + 10y – 3 = 97 , con lo cual x = (100- 10y) /(100y- 30) = (10-y)/(10y-3)
Para y=1 x= 9/7, y= 2 x = 8/17, y por consiguiente a partir de y= 2 el denominador siempre será mayor que el numerador. Por lo tanto no existe dos enteros positivos (x;y) que cumpla la ecuación.
Continuamos con la siguiente ecuación: 100xy- 10x – 70y +7 = 97 de donde
x = (9 +7y)/(10y -1) para y = 1 x = 16/9 , y= 2 x = 23/19 , y= 3 x = 30/29 ,
y= 4 x = 37/39, a partir de y = 4 el denominador siempre será mayor que el numerador y por ello no existe dos enteros (x,y) que cumplan esta ecuación.
Tanto el numerador como el denominador son progresiones aritméticas, lo que facilita las soluciones.

EL 97 ES PRIMO.

FACTORIZAR

Si queremos descomponer un número compuesto, cuya última cifra sea 1,3,7 ó 9, en factores primos tenemos que averiguar las incognitas x e y en las ecuaciones correspondientes y sustituirlas en el producto que precede a la ecuación. Con ello descomponemos el número en dos factores no necesariamente primos. Con cada factor no primo repetimos la misma operación hasta conseguir que todos los factores sean primos, es decir, que no existan dos enteros positivos (x,y) que verifiquen las ecuaciones pertinentes.

EJEMPLO: descomponemos el número 9.855.949


Utilizamos las ecuaciones correspondientes a la terminación del número, en este caso 9:

100xy – 10x + 10y -1 = 9.855.949

x = (9855950 – 10y)/(100y -10) = (985595 – y)/(10y – 1)
y = 1 , x = 985594/9 = 109.510,44
y =2 , x = 985593/19 = 51.873,33
y= 3 , x = 985592/29 = 33.985,93
y = 4 , x = 985591/39 = 25.271,56
y = 5 , x = 985590/49 = 20.114,08
y = 6 , x = 985589/59 = 16.704,90
y = 7 , x = 985588/69 = 14.283,88
y = 8 , x = 985587/79 = 12.475,78
y = 9 , x = 985586/89 = 11.074

Con lo cual :
(10x 11.074+ 1) (10x9-1))= 110.741 x 89 = 9855949

Factorizamos el 89

100xy – 10x + 10y – 1 = 89

x = (90-10y)/(100y-10) = (9-y)/(10y -1)

y = 1 , x =8/9
y = 2 , x = 7/19
y = 3 , x = 6/29
No existe un x perteneciente a los enteros positivos, ya que el denominador es siempre mayor que el numerador.
Utilizamos la siguiente ecuación:
100xy -70x -70y +49 = 89
x = (4 +7y)/(10y -7)


y = 1 , x = 11/3
y = 2 , x = 18/13
y = 3 , x = 25/23
y = 4 , x = 32/33

Ningún x pertenece a los números enteros positivos , a partir de y = 4 el denominador es siempre mayor que el numerador.
Y para terminar utilizamos la última ecuación:
100xy – 30x – 30y + 9 = 89
x =(8+3y)/(10y -3)
y = 1 , x = 11/7
y = 2 , x = 14/17
No existe x perteneciente a Z+ , a partir de y = 2 el denominador es mayor que el denominador.
EL 89 ES PRIMO

Factorizamos el 110.741

100xy + 10x + 10y +1 = 110.741
x = (11.074 -y)/(10y + 1)
y = 1 , x = 11.073/11 = 1006,64
y = 2 , x = 11.072/21 = 527,24
y = 3 , x = 11.071/31 = 357,13
y = 4 , x = 11.070/41 = 270
Por lo tanto:
110.741 = (10x270 +1) (10x4 +1) = 2701x 41

Factorizamos el 2701

100xy + 10x +10y + 1 = 2701
x = (270 -y)/(10y +1)



y = 1 , x = 269/11 = 24,45
y = 2 , x = 268/21 = 12,76
y = 3 , x = 267/31 = 8,61
y = 4 , x = 266/41 = 6,49
y = 5 , x = 265/51 = 5,20
y = 6 , x = 264/61 = 4,33
y = 7 , x =263/71 = 3,70
y = 8 , x = 262/81 = 3,23
y = 9 , x = 261/91 = 2,87
y = 10 , x = 260/101 = 2,57
y = 11 , x = 259/111 = 2,33
y = 12 , x = 258/121 = 2,13
y = 13 , x = 257/131 = 1,96

Como x solamente puede ser 1, obtenemos:
(10x1 +1) (10y + 1) = 2701
11 (10y +1) = 2701
110y + 11 = 2701
y = 2690/110 = 24,45 con lo que no pertenece a los enteros positivos.

100xy – 10x – 10y +1 = 2701
x = (270 + y)/(10y -1)
y = 1 , x = 271/9 = 30,11
y = 2 , x = 272/19 = 14,31
y = 3 , x = 273/29 = 9,41
y = 4 , x = 274/39 = 7,02
y = 5 , x =275/49 = 5,61
No existe un x perteneciente a los enteros positivos.

100xy – 30x – 70y + 21 = 2701
x = (268 +7y)/(10y -3)



y = 1 , x = 275/7 = 39,28
y = 2 , x = 282/17 = 16,59
y = 3 , x = 289/27 = 10,70
y = 4 , x = 296/37 = 8
Por lo tanto:
(10x8-7) (10x4 – 3) = 73x37 = 2701
Como los números 37, 41 y 73 son primos, obtenemos que:
9.855.949 = 110.741 x 89 = 2701 x 41 x 89 = 73 x 37 x 41 x 89