sábado, 23 de enero de 2010

ENIGMAS MATEMÁTICOS

LA PARADOJA DEL MENTIROSO


Epiménides dijo que “todos los cretenses son unos mentirosos”. Como él era cretense, ¿ Epiménides decía la verdad?

SOLUCIÓN

Si todos los cretenses son mentirosos, Epiménides dice la verdad y por lo tanto no puede ser cretense.
Si todos los cretenses dicen la verdad, Epiménides miente y como consecuencia él no puede ser cretense.

CONCLUSIÓN

Según la condiciones del problema EPIMÉNIDES NO PUEDE SER CRETENSE.


DESCOMPONER UN NÚMERO ENTERO PRODUCTO DE DOS PRIMOS


Todo número entero “n” se puede descomponer en un producto de otros dos, no necesariamente primos. Podremos hacerlo utilizando la ecuación: x2- zx + n = 0, siendo “z” la suma de las dos soluciones de la ecuación (los dos números primos), es decir, z = x1 + x2 y “n” el entero compuesto de dos factores primos(excluido el 2), es decir, n = x1.x2. Utilizando la fórmula de la ecuación de segundo grado obtenemos las dos soluciones:

x1 = (z + √p)/2 y x2 = (z - √p)/2, siendo p = z2 – 4n. Desarrollando esta ecuación y sustituyendo las variables por sus valores se obtiene:

p = (x1 + x2)2 – 4(x1.x2) = (x1 – x2)2, con lo cual “p” es un número par.

“z” es par, porque es la suma de dos números impares primos y es único porque todo número entero se descompone en un único producto de números primos. Luego para hallar las soluciones tendremos que hallar “z” y “p” utilizando las siguientes fórmulas:

z = (p + 4n)1/2; p = (2m)2 siendo m = (x1 – x2)/2 un número entero positivo.


Las soluciones se hallan dando valores a “m” y al sustituir “p” en la ecuación se obtenga un valor de “z” par.

NOTA: Hay varios errores tipográficos.En la primera ecuación de segundo grado la "x" está elevada al cuadrado, p = "z" al cuadrado menos 4n que es igual a la diferencia al cuadrado de las dos soluciones.La "z" es igual a la raiz cuadrada de (p+4n), siendo "p" el cuadrado de 2m.


PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE BASE DOS


Toda potencia de base dos y exponente impar al sumarle la unidad da como resultado un número natural múltiplo de tres.

2 elevado a 3 = 3x2 + 2

2 elevado a 5 = 3(2 elevado a 3 + 2) + 2
.
.
.
2 elevado a 2n+1 = 3(2 elevado a 2n-1 + 2 elevado a 2n-3 + 2elevado 2n-5 +....+1) – 1

2 elevado a (2n+1) + 1 = 3(2elevado a 2n-1 + 2elevado a 2n-3 + 2 elevado a 2n-5 +.....+1)


Toda potencia de base dos y exponente par al restarle la unidad da como resultado un número natural múltiplo de tres.

2 elevado a 4 = 3x2 elevado a 2 + 2 elevado a 2

2 elevado a 6 = 3(2 elevado a 4 + 2 elevado a 2) + 2 elevado a 2
.
.
.
2 elevado a 2n = 3(2 elevado a 2n-2 + 2 elevado a 2n-4 +.....+1) +1

2 elevado a (2n) -1 = 3(2 elevado a 2n-2 + 2 elevado a 2n-4 +....+1)



EXAMEN INESPERADO


Un profesor dice a sus alumnos:

Un día de la semana que viene os pondré un examen sorpresa, en el sentido en que no podréis saber cuándo se va a realizar hasta el momento en que os entregue el enunciado.

Los alumnos razonan del siguiente modo:

Si no conocemos con antelación cuándo se va a realizar el examen, no podrá ser el viernes ya que si llega el jueves y no se celebra, entonces el viernes es cuando se va a realizar y no hay sorpresa. Pero si el viernes no se realiza el examen, el jueves tampoco, ya que si llega el miércoles y no se realiza, el jueves es el único momento en que puede hacerse y no sería sorpresa. Pero si no se puede realizar el jueves tampoco se podrá el miércoles, martes y lunes por los mismos motivos. Por lo tanto es imposible que se celebre un examen en estas condiciones.

Sin embargo el miércoles, el profesor entra por la puerta y decide realizar el examen.

¿Dónde está el fallo en el razonamiento de los alumnos?


El concepto sorpresa, no saber el día del examen, depende del día de la semana en que nos encontremos. Si es domingo, no sabríamos decir que día de la semana ha elegido el profesor (lunes, martes, miércoles, jueves o viernes). Si es lunes y no se ha celebrado el examen tampoco podemos asegurar que día será, pero ya solamente nos queda cuatro opciones. Si es martes y todavía no ha puesto el examen, hay tres días donde elegir pero no sabemos con certeza cual ha elegido el profesor. Si es miércoles y el examen aún no se ha celebrado, entonces sabremos que tendrá lugar el jueves o el viernes, pero no sabemos cual de los dos días será. Si es jueves y el examen sigue sin celebrarse, entonces sabremos con toda seguridad que tendrá lugar el viernes. Solamente no es sorpresa si es jueves y el examen no se ha celebrado. El error es considerar el futuro como presente.


EL PROBLEMA DE LA LÁMPARA


Una lámpara es encendida durante un minuto, apagada durante ½ minuto, después encendida ¼ de minuto, y así sucesivamente. Esta serie de encendidos y apagados dura en total dos minutos, exactamente. Una vez transcurridos, ¿estará la lámpara encendida o apagada?


SOLUCIÓN

Para t = 2 minutos no está definido el intervalo de tiempo entre dos pulsaciones, es decir, es imposible distinguir el intervalo de tiempo entre dos pulsaciones, puesto que en ese instante dicho intervalo se aproxima a cero pero nunca es cero. Con lo cual no podemos construir un aparato de medida que pueda diferenciar entre dos pulsaciones para este instante concreto de tiempo.


CONCLUSIÓN

Utilizando el método de pulsación de la lámpara que enuncia el problema es imposible determinar si la lámpara estará encendida o apagada, a partir de dos minutos.


TODO NÚMERO PERFECTO PAR, EXCEPTO EL 6, ES LA SUMA DE LOS CUBOS DE LOS NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS.


DEMOSTRACIÓN

Para hallar la suma de los cubos de los números impares consecutivos utilizamos la siguiente ecuación:

(a + nr)elevado a (m +1) = a elevado a (m +1) + (m +1)rSm /1+ [ (m +1)m]r exponente "2"Sm-1/2x1 + …......+ (m +1)r exponente "m"S1/1 + nr exponente "m+1"

En nuestro caso concreto la diferencia “r” es 2, m +1 sería 4, S1 las sumas de los términos de la progresión, S2 de sus cuadrados y S3 de sus cubos. Por lo tanto tenemos:

(1 + 2n)exp4 = 1 + 8 S3 + 24 S2 + 32 S1 + 16n

1 + 8n + 24n exp2 + 32n exp3 + 16n exp4 = 1 + 8S3 + 24S2 + 32S1 + 16n

y como S1 = n exp2 y S2 = n(4n exp2 -1)/3 con lo cual obtenemos:

8n + 24n exp2 + 32n exp3 + 16n exp4 = 8S3 + 8n(4n exp2 -1) + 32n exp2 + 16n y despejando:

S3 = n exp2(2n exp2 -1) para todo “n” perteneciente a los enteros positivos. Esta es la fórmula que nos da la suma de los cubos de los números impares consecutivos. En el caso particular en que n exp2 = 2 exp"x" para toda “x” par perteneciente a los enteros positivos, se obtiene:

S3 = 2 exp"x"(2 exp(x +1) -1) que es la fórmula de los números perfectos pares cuando 2 exp(x +1) – 1 es primo. Por lo tanto queda demostrado que todo número perfecto par , excepto el 6, es la suma de los cubos de números impares consecutivos.

NOTA: El 6 no lo cumple puesto que 6 = 2(2 exp2 -1) y en este caso x =1 que es impar.

 n exp "2" no puede ser 2 porque “n” no sería un entero positivo. Por lo tanto 6 no es la suma de los cubos de números impares consecutivos.


Si n exp "2" = 2 exp "x" entonces “x” tiene que ser par para que “n” sea entero y 2 exp"x+1" -1 sea primo.



2 exp"x+1" -1 es múltiplo de 3 si x +1 es un número par superior a 2.

NÚMEROS PRIMOS


En las cuatro sucesiones siguientes se encuentran todos los números primos, excepto el 2 y el 5. Las sucesiones son:
S1= 10n+1, S2= 10n-7, S3= 10n-3 y S4= 10n-1 para todo “n” perteneciente a Z+.

En la sucesión 10n+1 (son números cuya última cifra es 1) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y+1) = 100xy + 10x +10y + 1
(10x-1) (10y-1) = 100xy - 10x -10y +1
(10x-7) (10y-3) = 100xy -30x -70y + 21
Para todo x, y pertenecientes a Z+

En la sucesión 10n-7 (son números cuya última cifra es 3) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y-7) = 100xy -70x +10y – 7
(10x-3) (10y-1) = 100xy -10x -30y + 3
Para todo x, y pertenecientes a Z+

En la sucesión 10n-3 (son números cuya última cifra es 7) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y-3) = 100xy – 30x + 10y – 3
(10x-7) (10y-1) = 100xy – 10x – 70y + 7
Para todo x, y pertenecientes a Z+

En la sucesión 10n-1 (son números cuya última cifra es 9) los números compuestos son los que cumplen una de las siguientes ecuaciones:

(10x+1) (10y-1) = 100xy – 10x + 10y – 1
(10x-7) (10y-7) = 100xy – 70x – 70y + 49
(10x-3) (10y-3) = 100xy – 30x – 30y +9

Para todo x,y pertenecientes a Z+.

Para saber si un número es primo lo igualamos con las ecuaciones que correspondan con su última cifra y si no existen dos enteros positivos (x,y) que cumplan las ecuaciones, entonces es primo.

EJEMPLO: ¿El 97 es primo o compuesto?
Como la última cifra es 7 utilizamos las ecuaciones correspondientes:
100xy – 30x + 10y – 3 = 97 , con lo cual x = (100- 10y) /(100y- 30) = (10-y)/(10y-3)
Para y=1 x= 9/7, y= 2 x = 8/17, y por consiguiente a partir de y= 2 el denominador siempre será mayor que el numerador. Por lo tanto no existe dos enteros positivos (x;y) que cumpla la ecuación.
Continuamos con la siguiente ecuación: 100xy- 10x – 70y +7 = 97 de donde
x = (9 +7y)/(10y -1) para y = 1 x = 16/9 , y= 2 x = 23/19 , y= 3 x = 30/29 ,
y= 4 x = 37/39, a partir de y = 4 el denominador siempre será mayor que el numerador y por ello no existe dos enteros (x,y) que cumplan esta ecuación.
Tanto el numerador como el denominador son progresiones aritméticas, lo que facilita las soluciones.

EL 97 ES PRIMO.

FACTORIZAR

Si queremos descomponer un número compuesto, cuya última cifra sea 1,3,7 ó 9, en factores primos tenemos que averiguar las incognitas x e y en las ecuaciones correspondientes y sustituirlas en el producto que precede a la ecuación. Con ello descomponemos el número en dos factores no necesariamente primos. Con cada factor no primo repetimos la misma operación hasta conseguir que todos los factores sean primos, es decir, que no existan dos enteros positivos (x,y) que verifiquen las ecuaciones pertinentes.

EJEMPLO: descomponemos el número 9.855.949


Utilizamos las ecuaciones correspondientes a la terminación del número, en este caso 9:

100xy – 10x + 10y -1 = 9.855.949

x = (9855950 – 10y)/(100y -10) = (985595 – y)/(10y – 1)
y = 1 , x = 985594/9 = 109.510,44
y =2 , x = 985593/19 = 51.873,33
y= 3 , x = 985592/29 = 33.985,93
y = 4 , x = 985591/39 = 25.271,56
y = 5 , x = 985590/49 = 20.114,08
y = 6 , x = 985589/59 = 16.704,90
y = 7 , x = 985588/69 = 14.283,88
y = 8 , x = 985587/79 = 12.475,78
y = 9 , x = 985586/89 = 11.074

Con lo cual :
(10x 11.074+ 1) (10x9-1))= 110.741 x 89 = 9855949

Factorizamos el 89

100xy – 10x + 10y – 1 = 89

x = (90-10y)/(100y-10) = (9-y)/(10y -1)

y = 1 , x =8/9
y = 2 , x = 7/19
y = 3 , x = 6/29
No existe un x perteneciente a los enteros positivos, ya que el denominador es siempre mayor que el numerador.
Utilizamos la siguiente ecuación:
100xy -70x -70y +49 = 89
x = (4 +7y)/(10y -7)


y = 1 , x = 11/3
y = 2 , x = 18/13
y = 3 , x = 25/23
y = 4 , x = 32/33

Ningún x pertenece a los números enteros positivos , a partir de y = 4 el denominador es siempre mayor que el numerador.
Y para terminar utilizamos la última ecuación:
100xy – 30x – 30y + 9 = 89
x =(8+3y)/(10y -3)
y = 1 , x = 11/7
y = 2 , x = 14/17
No existe x perteneciente a Z+ , a partir de y = 2 el denominador es mayor que el denominador.
EL 89 ES PRIMO

Factorizamos el 110.741

100xy + 10x + 10y +1 = 110.741
x = (11.074 -y)/(10y + 1)
y = 1 , x = 11.073/11 = 1006,64
y = 2 , x = 11.072/21 = 527,24
y = 3 , x = 11.071/31 = 357,13
y = 4 , x = 11.070/41 = 270
Por lo tanto:
110.741 = (10x270 +1) (10x4 +1) = 2701x 41

Factorizamos el 2701

100xy + 10x +10y + 1 = 2701
x = (270 -y)/(10y +1)



y = 1 , x = 269/11 = 24,45
y = 2 , x = 268/21 = 12,76
y = 3 , x = 267/31 = 8,61
y = 4 , x = 266/41 = 6,49
y = 5 , x = 265/51 = 5,20
y = 6 , x = 264/61 = 4,33
y = 7 , x =263/71 = 3,70
y = 8 , x = 262/81 = 3,23
y = 9 , x = 261/91 = 2,87
y = 10 , x = 260/101 = 2,57
y = 11 , x = 259/111 = 2,33
y = 12 , x = 258/121 = 2,13
y = 13 , x = 257/131 = 1,96

Como x solamente puede ser 1, obtenemos:
(10x1 +1) (10y + 1) = 2701
11 (10y +1) = 2701
110y + 11 = 2701
y = 2690/110 = 24,45 con lo que no pertenece a los enteros positivos.

100xy – 10x – 10y +1 = 2701
x = (270 + y)/(10y -1)
y = 1 , x = 271/9 = 30,11
y = 2 , x = 272/19 = 14,31
y = 3 , x = 273/29 = 9,41
y = 4 , x = 274/39 = 7,02
y = 5 , x =275/49 = 5,61
No existe un x perteneciente a los enteros positivos.

100xy – 30x – 70y + 21 = 2701
x = (268 +7y)/(10y -3)



y = 1 , x = 275/7 = 39,28
y = 2 , x = 282/17 = 16,59
y = 3 , x = 289/27 = 10,70
y = 4 , x = 296/37 = 8
Por lo tanto:
(10x8-7) (10x4 – 3) = 73x37 = 2701
Como los números 37, 41 y 73 son primos, obtenemos que:
9.855.949 = 110.741 x 89 = 2701 x 41 x 89 = 73 x 37 x 41 x 89

martes, 19 de enero de 2010

POSIBLE MECANISMO NEURONAL DE LA MEMORIA

Unos estímulos determinados procedentes de cada receptor, interno o externo, produce un movimiento genéticamente determinado característico de cada especie cuyo fin es la supervivencia, es lo que llamamos instinto (son conexiones establecidas genéticamente). Esto ocurre porque unos estímulos concretos que llegan de un receptor van hacia unas neuronas del cortéx motor del cerebro, únicas con neurotransmisores excitadores en las entradas de estos estímulos pero sin ellos en el resto de entradas procedentes de los demás receptores. A estas neuronas donde llegan los estímulos procedentes de todos los receptores las llamo, neuronas asociativas. Estas neuronas inervan las motoneuronas, bien directamente o mediante neuropéptidos, que darán lugar al movimiento estereotipado. Las neuronas asociativas de cada receptor están unidas entre sí. La excitación de una neurona asociativa comunica el impulso a todas las demás, produciendo neurotransmisores excitadores en éstas. Si inmediatamente después recibimos otro estímulo del mismo receptor, podríamos conectarlo a otra neurona asociativa (cuando haya suficientes neurotransmisores excitadores) produciendo nuevas respuestas diferentes y en definitiva nuevos movimientos útiles para la supervivencia, esta es la imitación. Cuando una neurona asociativa es excitada por un receptor adecuado se producen neurotransmisores excitadores en el resto de entradas procedentes de los demás receptores. Si en este instante recibimos estímulos del resto de los receptores quedarán todos asociados en esta neurona asociativa. Un estímulo procedente de cualquiera de las entradas asociadas excitará al resto, produciendo más neurotransmisores excitadores y por lo tanto reforzando la asociación. Los neurotransmisores se degradan, con lo cual se necesitan periódicamente impulsos para producir nuevos neurotransmisores que mantengan la asociación. De ahí que podamos distinguir dos clases de memoria en cuanto a su duración:

1ª. Memoria Permanente
Aquella en la cual las neuronas asociativas siempre tienen neurotransmisores excitadores. Porque cada cierto tiempo pasa el impulso nervioso.


2ª. Memoria a Corto Plazo
En las neuronas asociativas hay pocos neurotransmisores que desaparecen al no repetirse el impulso nervioso.


Cada receptor de la neurona asociativa está unido a unas determinadas neuronas motoras y también a una zona del córtex cerebral donde se procesa los estímulos procedentes de este receptor. En esta zona se percibe como un recuerdo difuso, poco nítido y de menor intensidad que la percepción original. Sin embargo, va ganando en nitidez e intensidad si dejamos de recibir estímulos de los receptores (tanto internos como externos). De esta manera si recibimos un estímulo cualquiera de los asociados, el resto de los estímulos unidos a él también se disparan provocando el recuerdo grabado en esa asociación. Esto es lo que llamamos memoria. El aprendizaje complejo consiste en la unión de varias neuronas asociativas para producir un determinado recuerdo o/y movimiento. La repetición de los estímulos refuerza esta asociación, mediante la producción de neurotransmisores excitadores, y como consecuencia el recuerdo o/y movimiento a que da lugar.

REFLEXIONES EN LA SOLEDAD

VIGESIMASÉPTIMA REFLEXIÓN

El dogmatismo acaba con la capacidad crítica y mata la imaginación.


VIGESIMA OCTAVA REFLEXIÓN


La fuerza de la gravedad se propaga con velocidad finita pero una vez que se haya propagado en un determinado espacio, actúa de forma instantánea.


VIGESIMANOVENA REFLEXIÓN

UN RAYO DE LUZ (COMPUESTO DE FOTONES DE DISTINTA MASA) AL PENETRAR EN UN PRISMA, SEPARA SUS FOTONES EN ORDEN A LAS FUERZAS APLICADAS POR ÉSTOS. A MÁS FUERZA APLICADA MAYOR ÁNGULO DE DESVIACIÓN, ÁNGULO FORMADO POR LAS DIRECCIONES DE LOS RAYOS INCIDENTE Y EMERGENTE. LAS FUERZAS APLICADAS POR LOS FOTONES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES A SUS ÁNGULOS DE DESVIACIÓN.En definitiva, un prisma separa los fotones ordenándolos por sus masas.


TRIGÉSIMA REFLEXIÓN

SI PUDIERAMOS HACER UN TÚNEL EN LA TIERRA QUE LA ATRAVESARA DE UN EXTREMO A OTRO PASANDO POR EL CENTRO DE GRAVEDAD, TODO CUERPO SITUADO EN ESTE CENTRO FLOTARÍA.

TRIGESIMAPRIMERA REFLEXIÓN

La simultaneidad de dos o más acontecimientos es absoluta, no depende del sistema de referencia elegido. Lo que es relativo es el tiempo de llegada de la información a cada sistema de referencia.

El tiempo transcurrido entre dos acontecimientos es el mismo para todos los sistemas de referencia, lo que es diferente es el tiempo de llegada de la información a cada sistema de referencia.

EL MONUMENTAL ERROR COMETIDO A PRINCIPIOS DEL SIGLO XX AL CONSIDERAR RELATIVA LA SIMULTANEIDAD, DEBEMOS DE CORREGIRLO AL PRINCIPIO DE ESTE SIGLO XXI PARA ACABAR CON TODAS LAS PARADOJAS E INCONGRUENCIAS QUE CONLLEVA.

TRIGESIMASEGUNDA REFLEXIÓN

¿ES POSIBLE QUE NUESTRA MENTE NO SEA CAPAZ DE ASIMILAR LA VERDADERA NATURALEZA DEL UNIVERSO?

TRIGESIMATERCERA REFLEXIÓN

Todos los sentimientos lo desencadenan estímulos procedentes de los receptores (externos e internos) que conectan con el sistema simpático o parasimpático y con un grupo de neuronas, que tienen memorizados estos estímulos, conectadas a su vez a motoneuronas que producen unos movimientos determinados característicos de cada especie.

PARECE COMO SI EN EL CORTEX CEREBRAL DE CADA RECEPTOR EXISTIESE UN PUNTO QUE ACTUASE COMO SISTEMA DE REFERENCIA, SIENDO ESTE PUNTO EL YO DE CADA PERSONA.

TRIGESIMACUARTA REFLEXIÓN

El desplazamiento al rojo de la luz en un campo gravitatorio es debido a una disminución de la velocidad de la luz, directamente proporcional a la intensidad del campo.

TRIGESIMAQUINTA REFLEXIÓN

Un aumento de fuerza constante aplicada a un cuerpo en un determinado sistema de referencia le produce una aceleración constante.

La fuerza aplicada a una masa en un determinado sistema de referencia se conserva (cuando deja de estar aplicada) en ausencia de otras fuerzas, porque no hay otra fuerza que la anule.

TRIGESIMASEXTA REFLEXIÓN

Somos una unión de impulsos nerviosos cuya función es preservar la asociación ADN-ARN-PROTEÍNA.

La asociación de los receptores, tanto internos como externos, es el origen de la mente.


Si buscas la verdad utiliza la constancia y la imaginación; pero si quieres convencer al mundo que tú llevas razón, lo mejor es que tengas orgullo y obstinación.