jueves, 9 de octubre de 2008

Precesión del perihelio de los Planetas



El avance del perihelio es la rotación lenta del eje mayor de la órbita del Planeta en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.

La desviación del eje de giro del Sol es lo que produce la rotación lenta, con velocidad angular constante (velocidad lineal media constante), del perihelio de los planetas en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.Por supuesto es una hipótesis, hasta que no sea rechazada o confirmada por los experimentos.

Tenemos dos sistemas de referencias:

S: sistema de referencia del Sol

S´ : sistema de referencia del planeta

Los dos sistemas de referencias tienen un movimiento relativo de traslación uniforme de velocidad constante V = v0 + vl

v0 = velocidad inicial que tiene el sistema de referencia S´ con respecto de S, debido a la velocidad de traslación del planeta respecto del Sol.

vl = velocidad lineal que produce la rotación del perihelio.

Los ejes OX y O X´ están alineados en la dirección del movimiento relativo, siendo paralelos en todo instante los ejes Y y Y´ y los ejes Z y Z´.

Sabiendo que:

X = distancia recorrida por el planeta en una revolución (de perihelio a perihelio) en el sistema de referencia S.

X´ = distancia recorrida por el planeta en una revolución en el sistema de referencia S´.

t = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X. Tiempo en el sistema de referencia S.

t´ = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X´. Tiempo en el sistema de referencia S´.

Las transformaciones de Lorentz son las ecuaciones de Galileo cuando el tiempo es el medido (tiempo transcurrido entre dos acontecimientos más la diferencia de tiempo entre la llegada de la información del segundo acontecimiento y la llegada del primero al sistema de referencia) y el ángulo formado por la dirección de la fuerza aplicada al cuerpo y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección es de 90 grados. Siendo la señal de información, la velocidad de la luz en el vacío. Usaremos las transformaciones de Lorentz porque actúan sobre los planetas, además de la fuerza de la gravedad, una fuerza adicional constante perpendicular a la dirección del planeta.

Utilizando las ecuaciones de Lorentz sabemos que:

t´ = bt y x´= bx siendo b = (1-v2/c2)1/2


Son las ecuaciones que nos relacionan los tiempos para una misma distancia y las distancias para un mismo tiempo.

Con lo cual podemos averiguar el incremento de longitud y tiempo que produce la rotación del perihelio en una vuelta completa.

La diferencia de tiempos entre los dos sistemas de referencias es:

∆t = t-t´ = t-bt = t (1-b) y como ∆t´= β∆t entonces ∆t´= t´ (1-β)

Y la diferencia entre sus distancias o longitudes:

∆d = x-+ v0∆t´

Sabiendo que v0t´ = x´ entonces v0∆t´ = ∆x´

Averiguamos la incógnita ∆x´:

Hallamos v0= x´/t´ y sustituyendo x´∆t´/t´= ∆x´ y reemplazando ∆t´ por su valor, obtenemos que ∆x´= x´ (1-β).

Por lo tanto:

∆d = x´ /b-+ x´ (1-b) = x´ /b -b = x´ (1/b -b) = x´ [(1-b2)/b]

Puesto que x´ = bx y la distancia x/radio son 2π radianes, obtenemos:

∆d = xb[(1-b2)/b] = x (1-b2) y por lo tanto ∆α = 2π (1-β2),que es la expresión que nos sale cuando dividimos ambos miembros de la igualdad por el radio.

Como b = (1-V2/C2)1/2 y V = v0+vl obtenemos:

b = (1-(v0+vl) 2/C2)1/2

En un sistema de fuerzas centrales podemos hallar el valor de v0 y el de

V = v0 +vl (al que podemos llamar velocidad final).En este sistema se

cumple:

Fuerza centrífuga = fuerza gravitatoria

mv02/r = GMm/r2, siendo M la masa del Sol y m la masa del Planeta. De donde v02 = GM/r

He partido de dos cuerpos en reposo relativo sometidos a fuerzas gravitatorias (en este caso el Sol y los planetas). Para hallar la velocidad relativa entre los planetas y el Sol:

1º. Los planetas tienen que vencer la fuerza de gravedad del Sol mediante la adquisición de una velocidad igual a la raíz cuadrada de 2GM/r, que es la velocidad de escape.

2º. Posteriormente el planeta obtiene una velocidad perpendicular a la anterior correspondiente a la distancia “r”, es decir, una velocidad igual a la raíz cuadrada de GM/r.

3º. La velocidad relativa es la composición de ambas velocidades. Por lo tanto sería de raíz cuadrada de 3GM/r.

4º. He considerado que el aumento de la fuerza gravitatoria sin que varíe la distancia entre las masas, da el mismo resultado mencionado anteriormente.

La raíz cuadrada de 3GM/r representa la velocidad relativa entre dos masas sometidas a la fuerza de la gravedad cuando hay un incremento de la fuerza gravitatoria sin variar la distancia entre las masas, pero sí hay un desplazamiento del punto de equilibrio entre ambas masas. El aumento de fuerza depende de la masa del cuerpo central que produce el campo gravitatorio y de la distancia entre los cuerpos.

Por lo tanto seguimos con los cálculos hallando la velocidad relativa:

V2 = v02 + 2gr

V2 = GM/r + 2GMr/r2 = GM/r + 2GM/r = 3GM/r

Con lo cual β = (1- 3GM/c2r)1/2 y sustituyendo β en la siguiente expresión:

α = 2π (1- β2 ) = 2 π [ 1-(( 1- 3GM/c2r )1/2)2] = 2 π 3GM/c2r = 6 π GM/c2r



NOTA: Hay un error tipográfico, donde pone "b" tiene que sustituirse por la letra griega "beta"

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