lunes, 27 de octubre de 2008

La luz y la bala


Situemos una placa de cristal en la trayectoria de la luz, la velocidad de la luz disminuye puesto que su velocidad es menor que en el vacío; pero, al salir de la placa de cristal vuelve a propagarse a la velocidad aproximada de 300000 Km/s. Sin embargo, ocurre algo muy diferente para una bala. Si ponemos un cajón con arena en el camino de la bala, después de atravesar el cajón la bala disminuye de velocidad. ¿Por qué esta diferencia de comportamiento? Sobre los fotones de la luz hay una fuerza constante permanentemente aplicada, es decir, actúa en todo instante de tiempo. Si actúan otras fuerzas sobre los fotones la fuerza resultante es constante, produciendo la velocidad constante correspondiente a esa fuerza resultante. A cada fuerza resultante le corresponde una única velocidad. En cambio sobre la bala actúa una fuerza constante no permanente, es decir, que está aplicada durante un tiempo determinado, pero se conserva cuando deja de estar aplicada (en ausencia de otras fuerzas). Si actúan otras fuerzas sobre la bala la fuerza resultante es variable, va disminuyendo a medida que transcurre el tiempo y como consecuencia aminora su velocidad. Esto es debido a que la fuerza constante no permanente aplicada sobre la bala en cada instante de tiempo es la fuerza resultante correspondiente a ese tiempo. Todo cuerpo en el que actúe una fuerza constante permanente tiene en este aspecto el mismo comportamiento que la luz.

viernes, 24 de octubre de 2008

El experimento del resorte



Supongamos dos cuerpos de masa Ma y Mb que se encuentran en reposo, por tanto Va = Vb= 0. Accionamos el resorte, y como el momento inicial es nulo, se debe cumplir la ley de conservación: 0 = MaVa´+ MbVb´, es decir, MaVa´= - MbVb´

EXPLICACIÓN

La expresión MaVa´+ MbVb´ = 0 no es correcta en este caso concreto. No se puede utilizar la conservación del momento lineal, ya que hay una fuerza externa aplicada (la fuerza del resorte). Si la cantidad de movimiento inicial de las partículas es nula, no hay interacción entre ellas. Con el resorte estamos aplicando la misma fuerza exterior sobre ambas partículas, aunque de sentidos contrarios. La expresión mencionada anteriormente nos indica que la fuerza exterior aplicada sobre la partícula “a” es igual, en módulo y dirección pero de sentido contrario, a la fuerza exterior sobre la partícula “b”, puesto que se aplica la misma fuerza externa sobre ambas. Lo cual quiere decir que la fuerza se conserva, cuando deja de actuar (es decir, cuando no hay contacto material entre el cuerpo y la fuerza aplicada), en ausencia de otras fuerzas que actúen sobre él. El experimento del resorte parece demostrar que la fuerza constante (en módulo, dirección y sentido) aplicada sobre una partícula es igual al producto de su masa por su velocidad constante. Es una posibilidad que habría que analizar muy seriamente.

jueves, 9 de octubre de 2008

Precesión del perihelio de los Planetas



El avance del perihelio es la rotación lenta del eje mayor de la órbita del Planeta en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.

La desviación del eje de giro del Sol es lo que produce la rotación lenta, con velocidad angular constante (velocidad lineal media constante), del perihelio de los planetas en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.Por supuesto es una hipótesis, hasta que no sea rechazada o confirmada por los experimentos.

Tenemos dos sistemas de referencias:

S: sistema de referencia del Sol

S´ : sistema de referencia del planeta

Los dos sistemas de referencias tienen un movimiento relativo de traslación uniforme de velocidad constante V = v0 + vl

v0 = velocidad inicial que tiene el sistema de referencia S´ con respecto de S, debido a la velocidad de traslación del planeta respecto del Sol.

vl = velocidad lineal que produce la rotación del perihelio.

Los ejes OX y O X´ están alineados en la dirección del movimiento relativo, siendo paralelos en todo instante los ejes Y y Y´ y los ejes Z y Z´.

Sabiendo que:

X = distancia recorrida por el planeta en una revolución (de perihelio a perihelio) en el sistema de referencia S.

X´ = distancia recorrida por el planeta en una revolución en el sistema de referencia S´.

t = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X. Tiempo en el sistema de referencia S.

t´ = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X´. Tiempo en el sistema de referencia S´.

Las transformaciones de Lorentz son las ecuaciones de Galileo cuando el tiempo es el medido (tiempo transcurrido entre dos acontecimientos más la diferencia de tiempo entre la llegada de la información del segundo acontecimiento y la llegada del primero al sistema de referencia) y el ángulo formado por la dirección de la fuerza aplicada al cuerpo y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección es de 90 grados. Siendo la señal de información, la velocidad de la luz en el vacío. Usaremos las transformaciones de Lorentz porque actúan sobre los planetas, además de la fuerza de la gravedad, una fuerza adicional constante perpendicular a la dirección del planeta.

Utilizando las ecuaciones de Lorentz sabemos que:

t´ = bt y x´= bx siendo b = (1-v2/c2)1/2


Son las ecuaciones que nos relacionan los tiempos para una misma distancia y las distancias para un mismo tiempo.

Con lo cual podemos averiguar el incremento de longitud y tiempo que produce la rotación del perihelio en una vuelta completa.

La diferencia de tiempos entre los dos sistemas de referencias es:

∆t = t-t´ = t-bt = t (1-b) y como ∆t´= β∆t entonces ∆t´= t´ (1-β)

Y la diferencia entre sus distancias o longitudes:

∆d = x-+ v0∆t´

Sabiendo que v0t´ = x´ entonces v0∆t´ = ∆x´

Averiguamos la incógnita ∆x´:

Hallamos v0= x´/t´ y sustituyendo x´∆t´/t´= ∆x´ y reemplazando ∆t´ por su valor, obtenemos que ∆x´= x´ (1-β).

Por lo tanto:

∆d = x´ /b-+ x´ (1-b) = x´ /b -b = x´ (1/b -b) = x´ [(1-b2)/b]

Puesto que x´ = bx y la distancia x/radio son 2π radianes, obtenemos:

∆d = xb[(1-b2)/b] = x (1-b2) y por lo tanto ∆α = 2π (1-β2),que es la expresión que nos sale cuando dividimos ambos miembros de la igualdad por el radio.

Como b = (1-V2/C2)1/2 y V = v0+vl obtenemos:

b = (1-(v0+vl) 2/C2)1/2

En un sistema de fuerzas centrales podemos hallar el valor de v0 y el de

V = v0 +vl (al que podemos llamar velocidad final).En este sistema se

cumple:

Fuerza centrífuga = fuerza gravitatoria

mv02/r = GMm/r2, siendo M la masa del Sol y m la masa del Planeta. De donde v02 = GM/r

He partido de dos cuerpos en reposo relativo sometidos a fuerzas gravitatorias (en este caso el Sol y los planetas). Para hallar la velocidad relativa entre los planetas y el Sol:

1º. Los planetas tienen que vencer la fuerza de gravedad del Sol mediante la adquisición de una velocidad igual a la raíz cuadrada de 2GM/r, que es la velocidad de escape.

2º. Posteriormente el planeta obtiene una velocidad perpendicular a la anterior correspondiente a la distancia “r”, es decir, una velocidad igual a la raíz cuadrada de GM/r.

3º. La velocidad relativa es la composición de ambas velocidades. Por lo tanto sería de raíz cuadrada de 3GM/r.

4º. He considerado que el aumento de la fuerza gravitatoria sin que varíe la distancia entre las masas, da el mismo resultado mencionado anteriormente.

La raíz cuadrada de 3GM/r representa la velocidad relativa entre dos masas sometidas a la fuerza de la gravedad cuando hay un incremento de la fuerza gravitatoria sin variar la distancia entre las masas, pero sí hay un desplazamiento del punto de equilibrio entre ambas masas. El aumento de fuerza depende de la masa del cuerpo central que produce el campo gravitatorio y de la distancia entre los cuerpos.

Por lo tanto seguimos con los cálculos hallando la velocidad relativa:

V2 = v02 + 2gr

V2 = GM/r + 2GMr/r2 = GM/r + 2GM/r = 3GM/r

Con lo cual β = (1- 3GM/c2r)1/2 y sustituyendo β en la siguiente expresión:

α = 2π (1- β2 ) = 2 π [ 1-(( 1- 3GM/c2r )1/2)2] = 2 π 3GM/c2r = 6 π GM/c2r



NOTA: Hay un error tipográfico, donde pone "b" tiene que sustituirse por la letra griega "beta"

ENIGMAS MATEMATICOS



Paradoja del Barbero


En un pueblo de España el barbero afeita a todos los hombres menos a los que se afeitan solos y se pregunta: ¿Quién afeita al barbero?

Veamos



No puede afeitarse a sí mismo, porque no afeita a los que se afeitan solos.

Pero si otro lo afeita, ya él no es el único que afeita a todos.

SOLUCIÓN

No existe un barbero perteneciente al pueblo que cumpla las condiciones del problema. Los habitantes que se afeitan del pueblo lo podemos dividir en dos grupos:

a) Los habitantes que afeita el barbero

b) Los habitantes que se afeitan solos

Y como el barbero no pertenece a ninguno de los dos grupos, concluimos que el BARBERO NO ES HABITANTE DEL PUEBLO.

martes, 7 de octubre de 2008

Experimento de los muones


Los muones son unas partículas cuya vida media es de 2,2 millonésimas de segundo. Estas partículas se generan por la interacción de los rayos cósmicos con la atmósfera y viajan a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. David Frisch y James Smith realizaron un experimento en el que midieron el número de muones que llegaban a la superficie terrestre. En la cima de la montaña registraron 568 muones por hora y a nivel del mar, según la ley de decaimiento, debería registrarse 27 muones/h; sin embargo detectaron 412 muones/h. Los muones llegaban a la superficie terrestre antes de desintegrarse.

EXPLICACIÓN

Tenemos dos sistemas de referencia:

S: sistema de referencia “Tierra”

S´: sistema de referencia “Rayos Cósmicos”. Los muones tienen una velocidad cercana a la luz respecto de este sistema de referencia.

La velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia es de 0,998c (que es la velocidad que tiene los rayos cósmicos respecto de la tierra) y siendo:

X= distancia entre los dos sistemas de referencia en el instante de emisión de los muones (tiempo transcurrido igual a cero).

X´= distancia entre los dos sistemas de referencia para un determinado tiempo “m” transcurrido desde la emisión de los muones.

t = tiempo que tarda los muones en recorrer la distancia X.

t´= tiempo que tarda los muones en recorrer la distancia X´.





Puesto que la velocidad de la luz que parte de un sistema de referencia y llega al otro sistema de referencia, con velocidad constante respecto del anterior, es constante para los dos sistemas de referencia (es nuestra señal de información) y que los rayos cósmicos sufren una desviación debido a la fuerza gravitatoria que es perpendicular al vector velocidad resultante, entonces podemos utilizar las transformaciones de Lorentz.

De las ecuaciones de Lorentz deducimos que:

X´ = X (1-V2/c2)1/2 y t = t´/ (1-V2/c2)1/2

Que son las ecuaciones que nos relacionan las distancias para un mismo tiempo y los tiempos para una misma distancia.

No es que la vida media de los muones sea mayor en movimiento que en reposo (para un observador terrestre), ni que para los muones el camino a través de la atmósfera se contraiga; sino que la distancia entre los rayos cósmicos y la superficie de la Tierra disminuye debido a que los rayos cósmicos se acercan a la Tierra a una velocidad cercana a la velocidad de la luz en el vacío.Con lo cual no tiene lugar una dilatación del tiempo, sino que la distancia entre los dos sistemas de referencia disminuye y por lo tanto pueden llegar hasta la superficie de la tierra más cantidad de muones (antes de desintegrarse).