jueves, 18 de septiembre de 2008

Relación entre los sistemas de referencia inerciales y no inerciales


INTRODUCCION



En el experimento de Michelson-Morley la distancia recorrida por la luz en la dirección del movimiento y la distancia recorrida por ésta en la dirección transversal al movimiento son iguales para el sistema de referencia “Tierra”, de ahí que tarde el mismo tiempo en recorrerla. El lugar donde se encuentra la fuente que produce la luz se puede considerar el origen del sistema de referencia “Tierra”. La distancia entre el origen y un punto cualquiera “A” de este sistema de referencia es la misma estando el sistema de referencia en reposo o si éste tiene movimiento rectilíneo uniforme (respecto de otro sistema de referencia). Si el origen del sistema de referencia se desplaza una distancia “d” en una determinada dirección y sentido, el punto “A” también recorre esa distancia en la misma dirección y sentido. Por lo tanto la distancia recorrida por la luz en el movimiento de ida es la misma que la recorrida en su movimiento de vuelta. El experimento de Michelson-Morley nos demuestra que la velocidad de la luz, para el sistema de referencia donde la fuente que la produce está en reposo, es la misma en todas direcciones. Para este sistema de referencia la velocidad de la luz es constante tanto si el sistema de referencia está en reposo como si éste tiene movimiento rectilíneo uniforme, respeto de otro sistema de referencia. Podemos decir que la velocidad de la luz es constante respecto al sistema de referencia donde se encuentra, en reposo, la fuente que la produce y en todos aquellos sistemas de referencia, con velocidades constantes lo unos respecto a los otros, donde llega la luz procedente de una fuente cualquiera. El experimento de Alvager que describo a continuación nos demuestra esta última afirmación.” Se aceleraron mesones pi (partículas nucleares que se desintegran en dos rayos gamma) hasta una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz. Las mediciones del tiempo de vuelo entre dos detectores dieron una velocidad de “c” para los fotones emitidos por los mesones pi”. La velocidad de la luz es relativa si parte del origen común de los dos sistemas de referencia. Por consiguiente solamente podemos modificar las ecuaciones de Galileo de dos formas:


1ª. Incorporando la constancia de la velocidad de la luz, cuando parte de un punto “P” y llega al origen de los dos sistemas de referencia, que es la señal de información. Con lo cual la señal no llega instantáneamente, sino que tiene la velocidad de la luz en el vacío.


2ª. Modificando la dirección de la velocidad del sistema de referencia o la dirección de la velocidad del cuerpo. Si la fuerza que provoca el cambio de dirección forma un ángulo recto con las direcciones anteriormente citadas, obtenemos las transformaciones de Lorentz, pero siendo la velocidad de la luz nuestra señal de información.




RELACIÓN ENTRE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Y LAS ECUACIONES DE GALILEO



Si profundizamos en las transformaciones de Lorentz llegamos a las siguientes conclusiones:


1ª. Las ecuaciones de Galileo: x´= x-vt, y=y´ y z=z´ solamente son válidas cuando los sistemas de referencias son inerciales y la velocidad de la señal de información se considere instantánea.


2ª. Las anteriores ecuaciones de Galileo hay que modificarlas, ya que la señal de información es la velocidad de la luz en el vacío. Puesto que “x” es invariable y la velocidad relativa también, entonces es el tiempo el único factor que varía. Por consiguiente la nueva ecuación es x´= x-αvt y como sabemos que x =ct, x´= ct´ y t´= αt deducimos lo siguiente:


x´= x-αvt

ct´= ct-αvt

cαt = t(c-αv)

cα = c-αv

α (c+v) = c


α= c/(c+v)



Por lo tanto las ecuaciones son las siguientes:


x´= x-cvt/(c+v) , x = x´+ vt´


y´ = y, y = y´

z´= z, z = z´


t´= ct/(c+v) si ∆x =0, t = (c+v)t´/c



3ª. ¿Qué ocurre si aplicamos una fuerza constante perpendicular a la dirección de la velocidad del sistema de referencia (y a la dirección de la velocidad del cuerpo) que produce en el sistema de referencia un cambio de dirección y de velocidad constante (es decir, el sistema de referencia pasa de una velocidad constante a otra velocidad constante?

Lo que ocurre es que el cuerpo recorre una distancia mayor a la misma velocidad, lo que equivale a una disminución de la velocidad del cuerpo para una misma distancia recorrida.


¿Qué relación hay entre la distancia recorrida por el cuerpo cuando su dirección es perpendicular a la dirección de la velocidad del sistema de referencia, que está cambiando de velocidad constante, respecto de la distancia recorrida por el cuerpo a velocidad constante cuando el sistema de referencia tiene movimiento rectilíneo uniforme? Es decir, qué relación existe con las distancias, velocidades y tiempo entre las transformaciones de Lorentz y las ecuaciones de Galileo. Del siguiente triángulo rectángulo :






L = v1t , es la hipotenusa

G , cateto mayor

V.t, cateto menor















Podemos deducir que xG´= t (v12-V2)1/2 y x´L= v1t siendo “V” la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia y v1 la velocidad del cuerpo. Y relacionándolas nos queda x´L/x´G = v1t/t (v12-V2)1/2 de donde:


L= v1G/ (v12-V2)1/2 = x´G/ (1-V2/v12)1/2 y como la señal de información es la luz, que tiene la misma velocidad en el vacío para todos los sistemas de referencia con movimientos rectilíneos uniformes, entonces podemos sustituir la velocidad del cuerpo por la velocidad de la luz; puesto que nos informa de la posición del cuerpo, la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. De esta forma obtenemos:










L = x´G/ (1-V2/c2)1/2











Siendo:

L = distancia recorrida por un cuerpo (incluido la luz) en el sistema de referencia S´ en las transformaciones de Lorentz.


c = velocidad de la luz en el vacío.


G = distancia recorrida por cualquier cuerpo en el sistema de referencia S´ en las ecuaciones de Galileo.


V = velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia con movimientos rectilíneos uniformes.



En definitiva, podemos decir que las transformaciones de Lorentz son las ecuaciones de Galileo cuando el ángulo formado por la dirección de la velocidad del sistema de referencia (o la dirección de la velocidad del cuerpo) y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección es de 90 grados.


Podemos generalizar los resultados para cualquier ángulo α. Para ello partiremos de la suma de dos vectores:


(ct1)2 = x´G2 + (Vt1)2+2x´GVt1cosα

Siendo uno de los vectores x´G, el otro Vt1, el vector resultante x´α = ct1 y α el ángulo entre los dos vectores.


Y despejando x´G obtenemos:


G = (-Vcosα + (V2 (cos2α-1) +c2)1/2)t1


Y ahora relacionamos x´G con x´α


α/x´G = ct1/ (-Vcosα+ (V2(cos2α-1)+c2)1/2)t1 de donde


α =cx´G/ (-Vcosα+ (V2(cos2α-1)+c2)1/2)= x´G/ (-Vcosα/c+ (V2(cos2α-1)/c2 +1)1/2)



α = distancia recorrida por el cuerpo y por la luz en el sistema de referencia S´ para las transformaciones α. Siendo α el ángulo formado por la dirección del sistema de referencia con movimiento rectilíneo uniforme (o la dirección de la velocidad del cuerpo) y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección. O lo que es lo mismo: ángulo formado por la dirección de la fuerza aplicada al cuerpo y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección.



Por lo tanto las nuevas transformaciones o ecuaciones α de Galileo son las siguientes:


α = (x-Vt)/ (-Vcosα/c + (V2(cos2α-1)/c2 +1)1/2)


α = y


α = z


α = t (-Vcosα/c + (V2(cos2α-1)/c2 +1)1/2) cuando ∆x=0











Si “c” se considera infinita o instantánea, obtenemos las ecuaciones de Galileo.

Si V=0 se obtiene las ecuaciones de Galileo en el sistema de referencia S´, sistema de referencia propio, que coincide con el sistema de referencia S.

Cuando α=0, x´0 =(x-Vt)/ (1-V/c) con lo cual el cambio de velocidad del sistema de referencia y la velocidad del cuerpo tienen la misma dirección y sentido. La distancia recorrida por el cuerpo aumenta respecto a la distancia recorrida en las ecuaciones de Galileo (x´0 es mayor que x´G). Como ejemplo tenemos al tren con movimiento rectilíneo uniforme que aumenta de velocidad en la misma dirección, pasa de una velocidad inicial a otra final, con un hombre caminando dentro del tren a una velocidad constante en la misma dirección y sentido que el tren.

Cuando α= 90, x´90 = (x-Vt)/ (1-V2/c2)1/2 con lo que se obtiene las transformaciones de Lorentz.


Si α = 180 entonces x´180 = (x-Vt)/ (1+V/c) y por lo tanto en este caso el cambio de velocidad del sistema de referencia y la velocidad del cuerpo tienen la misma dirección y sentido contrario. La distancia recorrida por el cuerpo disminuye respecto a la distancia recorrida en las ecuaciones de Galileo (x´180 es menor que x´G). Podemos poner el ejemplo del tren con movimiento rectilíneo uniforme que disminuye de velocidad en la misma dirección, con un hombre corriendo en su interior a una velocidad constante en la misma dirección y sentido que el tren.







































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