viernes, 19 de septiembre de 2008

El tiempo y la Relatividad

EL TIEMPO


El tiempo es un movimiento repetitivo, cíclico, de duración ilimitada (el ciclo pasado, presente y futuro se sucede indefinidamente). Si a cada movimiento cíclico le asociamos un número natural, estaremos creando un sistema de referencia “tiempo” para cualquier acontecimiento. De esta manera el comienzo de todo suceso queda representado por un número y su final por otro número posterior. El tiempo medido, entre dos acontecimientos en un determinado sistema de referencia, es igual al tiempo transcurrido más la diferencia entre los tiempos de llegada de la información (del segundo y del primer acontecimiento) al sistema de referencia. Solamente medimos el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos cuando el tiempo de llegada de la información del primer acontecimiento es el mismo que el tiempo de llegada del segundo acontecimiento. El tiempo transcurrido entre dos sucesos es el mismo para todos los sistemas de referencia, lo que es diferente es el tiempo que tarda en llegar la información a cada sistema de referencia. Si sincronizamos dos relojes y situamos cada uno en un sistema de referencia los relojes medirán tiempos diferentes, para un determinado fenómeno, por dos motivos:


1º. La señal de información tarda más tiempo en llegar a un sistema de referencia que al otro.


2º. Hay fuerzas externas que influyen en el funcionamiento de los relojes y son distintas para cada sistema de referencia.


Si las fuerzas externas son iguales para los dos sistemas de referencia (o no existen) y reunimos los dos relojes en un mismo sistema de referencia, los dos marcarán el mismo tiempo.



EL TIEMPO Y LA RELATIVIDAD



Sincronizamos dos relojes cuyo funcionamiento están basados principalmente en la cantidad de veces que la luz emitida recorre una determinada distancia y que un contador registra marcando un tiempo “t”. Uno de estos relojes lo dejamos en reposo en la superficie de la Tierra y otro lo situamos en un satélite que gira alrededor de la Tierra. Se ha comprobado que el reloj del satélite es más rápido que el otro situado en la superficie terrestre. El adelanto del reloj del satélite es de 38.000 nanosegundos por día.




EXPLICACIÓN



La fuerza de la gravedad y la fuerza centrífuga son perpendiculares a la tangente de la trayectoria del satélite y a la de la luz del reloj atómico situado en éste. La velocidad “V” del satélite es la velocidad relativa entre el sistema de referencia “Tierra” y el sistema de referencia “Satélite”. Tomemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la velocidad del satélite antes de actuar la gravedad (V), el cateto menor es la velocidad del satélite si solamente actuara sobre él la fuerza de la gravedad (vg) y el cateto mayor es la velocidad tangencial del satélite (v). Utilizando el teorema de Pitágoras hallaremos la velocidad relativa (V) conociendo la velocidad tangencial y la velocidad que produce la fuerza de la gravedad:


V2 =v2 +vg2 = v2+2gr = v2+2GM/r siendo vg2 = 2gr, partiendo del reposo.

La luz del reloj atómico situado en el satélite se desvía debido a la fuerza centrífuga. Por lo tanto podemos utilizar las transformaciones de Lorentz para relacionar los tiempos. Utilizando las ecuaciones de Lorentz que nos relacionan los tiempos para una misma distancia recorrida obtenemos:

t= t´ (1-V2/c2)1/2 = t´ (1-(v2+2GM/r)/c2)1/2 = t´ (1-v2/c2-2GM/rc2)1/2



Que es la relación entre los tiempos propios, cuando uno de los sistemas de referencia está situado en un campo gravitatorio y el otro en un punto donde no actúen fuerzas externas, para una misma distancia recorrida. Siendo “t” el tiempo propio en cualquier punto del campo gravitatorio y “t´” el tiempo propio en un reloj no sometido a fuerzas externas. Siendo “t” inferior a “t´” debido a la disminución de la velocidad de la luz, utilizada para la medición del tiempo, en el reloj donde actúa la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga respecto del reloj situado en el lugar donde estas fuerzas están ausentes.

Por lo tanto la luz del reloj situado en la superficie terrestre tarda más tiempo en recorrer una misma distancia y su contador marca menos tiempo que el situado en el satélite.





Sabiendo que t= t´ (1-v2/c2-2GM/rc2)1/2 y que


t = tiempo propio en cualquier punto del campo gravitatorio

t´= tiempo propio en un reloj no sometido a fuerzas externas

G = constante de gravitación universal

M = masa de la Tierra

r = distancia desde el punto a considerar hasta el centro de gravedad de la Tierra

c = velocidad de la luz en el vacío

v = velocidad tangencial del punto a analizar


Vamos a comparar los relojes con un reloj situado en un punto sin gravedad, el reloj está lo suficientemente alejado del campo gravitatorio como para que no se vea afectado por éste (el reloj no está sometido a fuerzas externas).


Si comparamos el reloj del satélite con el reloj no sometido a fuerzas externas para un tiempo, referente a este último reloj, de un día (86400 s) obtenemos:


ts = 86400 (1-vs2/c2-2GM/rsc2)1/2 = 86400 (1-38702/8,98752x1016-


7,97209x1014/2,37049x1024)1/2 = 86400 (1-1,66641x10-10-3,36306x10-10)1/2 =


= 86400 (1-5,02947x10-10)1/2 = 86399, 99998


La diferencia entre el tiempo del reloj del satélite y el reloj no sometido a fuerzas externas es:



Ds = 86400-86399,99998 = 2,1730x10-5 s que es la desincronización (en forma de retraso) que tiene el reloj del satélite respecto al reloj de referencia.


Ahora hallaremos el tiempo del reloj situado en la superficie de la Tierra en el paralelo 40º:


tt = 86400 (1-vt2/c2-2GM/rtc2)1/2 = 86400 (1- 4,41474x10-10)1/2 = 86399,99994


La diferencia entre el reloj de la superficie terrestre a 40º de latitud y el reloj de referencia es:


Dt = 86400-86399,99994 = 6,0249x10-5 s que es el retraso que tiene el reloj de la superficie terrestre respecto del reloj no sometido a fuerzas externas.


La resta entre los valores de Dt y Ds nos da el tiempo de retraso del reloj de la superficie terrestre respecto del reloj del satélite o el adelanto de este último respecto del primero. De esta manera obtenemos:


Dt – Ds = 6,0249x10-5- 2,1730x10-5 = 3,8520x10-5 segundos por día, o lo que es lo mismo unos 38500 nanosegundos diarios.


La relación entre los tiempos propios de dos relojes situados a la distancia rs y rt del centro de gravedad de un campo gravitatorio es la siguiente:


tt = ts (1-2GM/rtc2-vt2/c2)1/2/ (1-2GM/rsc2-vs2/c2)1/2


Siendo vs y vt las velocidades tangenciales de los relojes situados a las distancias rs y rt respectivamente del centro de gravedad del campo gravitatorio y rs superior a rt.



En conclusión la gravedad y la velocidad no influyen en el tiempo, sino en el funcionamiento de los relojes. Actúan fuerzas externas diferentes para cada reloj que provocan su desincronización.



TABLA DE DATOS



c = 2,99792 x 108 m/s


G = 6,67266 x 10-11


Masa de la Tierra = 5,97370 x 1024 Kg


Radio de la Tierra = 6371000 m


Altitud del satélite = 20000000 m


Distancia del satélite al centro de la Tierra (rs) = 2,63753 x 107 m


Velocidad tangencial del satélite (vs) = 3870 m/s


Radio de la Tierra en la latitud 40º (rt) = 2,02014 x 107 m


Velocidad tangencial de la superficie terrestre en la latitud 40º (vt) = 4,63312 x 102 m/s

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